Alexei Tkachuk wurde in Kiew geboren und erhielt an der dortigen Spezialmusikschule zunächst sechs Jahre lang Unterricht im Hauptfach Geige, bevor er durch Prof. Juri Dondakov seine Liebe zum Fagott entdeckte. Anschließend studierte er am Tschaikowski-Konservatorium Kiew bei Prof. Wladimir Apatski. Seine Karriere als Solist fand ihren vorläufigen Höhepunkt mit dem Gewinn des 3. Preises beim Internationalen Instrumentalwettbewerb Markneukirchen 1990. Dort wurde der Solo-Fagottist der Berliner Philharmoniker, Prof. Günter Piesk, auf ihn aufmerksam und lud ihn zur weiteren Ausbildung an die Hochschule der Künste Berlin ein. Noch während er dort studierte, gewann Alexei Tkachuk beim internationalen Fagottwettbewerb in Minsk den 1. Preis und wurde nach dem Konzertexamen in die Orchesterakademie der Berliner Philharmoniker aufgenommen.
1995 bis 1997 war er Solo-Fagottist des Gustav Mahler Jugendorchesters und anschließend Gründungsmitglied des Mahler Chamber Orchestra, in dem er bis 2006 als Solo-Fagottist tätig war. Seit 1997 ist er Solo-Fagottist bei den Bamberger Symphonikern und seit 2005 Professor für Fagott an der Hochschule für Künste Bremen.